Αναζήτηση αυτού του ιστολογίου

Συνολικές προβολές σελίδας

Παρασκευή, 9 Αυγούστου 2013

ΓΙΑΤΙ Η ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΤΟΥ 2 ΔΕΝ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΡΗΤΟΣ ΛΟΓΟΣ

Έστω τετράγωνο μήκους πλευράς 1. Από το Πυθαγόρειο (α στο τετράγωνο + β στο τετράγωνο = γ στο τετράγωνο, για α, β, πλευρές ορθογωνίου τριγώνου και γ υποτείνουσα), έχουμε την εξής σχέση για δύο πλευρές του τετραγώνου αυτού και την διαγώνιό του : 
1 στο τετράγωνο + 1 στο τετράγωνο = διαγώνιος στο τετράγωνο. 
Δηλαδή 
1 + 1 = διαγώνιος στο τετράγωνο 
και 
2 = διαγώνιος στο τετράγωνο 
και 
τετραγωνική ρίζα του δύο = διαγώνιος. (i)
Το ερώτημα τώρα είναι : η τετραγωνική ρίζα του 2 μπορεί να είναι ρητός λόγος ακεραίων της μορφής α/β ; 
Μπορεί δηλαδή να είναι :
διαγώνιος = τετραγωνική ρίζα του δύο = α/β; (ii)
Αν είναι, η αρχική εξίσωση (από τις (i) και (ii) γράφεται 1 στο τετράγωνο + 1 στο τετράγωνο = (α/β) στο τετράγωνο 
και
 2 = (α/β) στο τετράγωνο. 
και 
2 = (α στο τετράγωνο / β στο τετράγωνο)
 και 
2 β στο τετράγωνο = α στο τετράγωνο. 
Ο αριθμός 2 β στο τετράγωνο είναι πάντα άρτιος ως πολλαπλάσιο του 2, αν ο α είναι όμως περιττός και ο α στο τετράγωνο θα είναι περιττός, γιατί οποιοσδήποτε περιττός υψωμένος στο τετράγωνο ισούται πάντα με περιττό. Και η εξίσωσή μας εκφράζει πώς ένας άρτιος ισούται με περιττό, πράγμα αδύνατον. Επομένως ο λόγος α/β δεν μπορεί να εκφραστεί ρητά και ή τετραγωνική ρίζα του δύο δεν μπορεί να είναι ρητός λόγος ακεραίων. 








Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου